Возмущения, зависящие от времени

Когда гамильтониан перестаёт сидеть смирно

Невозмущённая квантовая задача устроена сравнительно благопристойно: известны собственные энергии и нормированные собственные функции. Каждое стационарное состояние получает простой временной множитель, а система не вынуждена пересматривать весь свой гардероб каждую секунду. В четвёртом сообщении 1926 года Шрёдингер расширил теорию возмущений на случай внешнего действия, которое явно зависит от времени; важный пример — световая волна.

Такое поле не просто слегка сдвигает уровни раз и навсегда. Оно подталкивает систему во времени, поэтому прежнее собственное состояние уже не остаётся в одиночестве. Возмущённое состояние строят как комбинацию собственных функций невозмущённой задачи, а коэффициенты этой комбинации становятся функциями времени. Метод хорош тем, что не требует заново решать всю сложную задачу с нуля: известный базис становится набором деталей, из которых собирают отклик.

Условие «слабое» относится к величине эффекта на рассматриваемом интервале, а не к вежливости внешнего поля. Разложение предполагает, что поправки остаются контролируемыми. Если поле настолько сильно, что за короткое время смешивает состояния радикально, первая поправка превращается из инструмента в сувенир от прежнего расчёта. Поэтому метод с самого начала имеет область применимости, а не универсальный пропуск в любую динамику.

Как другие состояния примешиваются

Пусть система вначале подготовлена в одном собственном состоянии. Внешнее воздействие может породить малые амплитуды других собственных функций. Насколько велика амплитуда конкретного состояния, определяется не одной разностью энергий и не только силой поля: в расчёт входит матричный элемент воздействия между начальным и конечным состояниями. Он учитывает пространственную форму функций и характер оператора внешнего поля.

Эта деталь объясняет, почему доступные по энергии переходы не обязательно одинаково заметны. Даже при подходящей разности энергий матричный элемент может обратиться в нуль из-за симметрии. В другом случае он велик, и слабое поле эффективно связывает состояния. Подобный отбор не является волшебным запретом, прилепленным к уровневой диаграмме после расчёта; он возникает из того, как волновые формы накладываются на внешнее действие.

Для гармонического воздействия с частотой ν в формулах появляются сочетания разностей энергий и hν. Внешняя частота словно пытается попасть в энергетический зазор. Когда соответствующий знаменатель далёк от нуля, амплитуды обычно остаются малыми и колебательными. Когда комбинация близка к нулю, вклад может резко вырасти. Именно здесь школьная фраза «свет вызвал переход» получает математический механизм, а заодно начинает требовать осторожности.

Резонанс — граница простого разложения

Близость к резонансу не означает, что формула обязана честно выдать бесконечный физический ответ. Она означает, что принятый порядок приближения теряет надёжность: малое возмущение при длительном действии способно накопить заметный эффект, а знаменатель предупреждает о неподходящем разложении. В такой области приходится по-иному организовывать вычисление и учитывать взаимодействующие состояния более последовательно.

Шрёдингер сначала рассматривал невырожденный дискретный спектр — случай, где уровни разделены и удобно различимы. Затем отдельно обсуждал вырождение и непрерывный спектр. Это не педантичная пристройка в конце здания. При вырождении несколько состояний имеют одну энергию, и даже слабое воздействие может сильно смешать их; в непрерывном спектре сама операция суммирования по состояниям меняет характер и требует иной технической аккуратности.

Метод временных возмущений ценен именно своей дисциплиной. Он говорит не «любое поле слегка поправит всё», а предлагает последовательность: взять известные состояния, разложить по ним ответ, вычислить матричные элементы, следить за энергетическими разностями и вовремя заметить поломку предположений. Для света и атома это открыло расчётный язык отклика; для читателя оставило полезное правило: маленький коэффициент перед полем ещё не гарантирует маленького результата, если система долго и точно подталкивается в подходящий такт.