Уравнение Шрёдингера и эволюция состояния

Формула, которая задаёт изменение

В общем виде временное уравнение Шрёдингера записывают так: iℏ∂ψ/∂t = Ĥψ. Здесь ψ — волновая функция, зависящая от положения и времени, ℏ — постоянная Планка с делением на 2π, а Ĥ — оператор полной энергии, или гамильтониан. Буква с «шляпой» не косметическая: она напоминает, что речь идёт не о простом числе, а о правиле действия на функцию. Уравнение сообщает, как по состоянию в один момент получить его согласованное состояние в другой.

Слово «эволюция» не означает, что частица обязана ехать по нарисованной линии, словно курьер на карте. Изменяется математическое описание состояния. Если известны начальная волновая функция и гамильтониан системы, уравнение определяет дальнейшее изменение ψ. Практический расчёт может быть трудным: надо учитывать потенциал, границы области, взаимодействия и симметрии. Но логика ясна: законы системы заключены в Ĥ, а состояние отвечает на эти законы своим изменением во времени.

В обычной нерелятивистской задаче для частицы в заданном потенциале гамильтониан часто содержит два слагаемых: кинетическую энергию и потенциальную. Первое выражается через производные по координатам, второе умножает функцию на значение потенциала в данной точке. Поэтому уравнение связывает пространственную форму ψ с её временной переменой. Это не рецепт «подставить энергию и получить картинку», а дифференциальное уравнение: у него важны условия задачи и допустимость решения.

Что можно извлечь из волновой функции

Решение даёт волновую функцию в выбранной точке пространства и времени. Однако прибор при измерении положения не печатает на экране всю функцию с её комплексной фазой. В распространённой интерпретации Борна величина |ψ|² связана с вероятностной плотностью обнаружения электрона. Вероятностная плотность — не вероятность в одной математической точке; вероятность относится к конечной области и получается суммированием, то есть интегрированием плотности по этой области.

Учебный пример полезнее лозунга. Пусть |ψ|² велико в узкой области около ядра и мало далеко от него. Тогда измерение положения в малой области около ядра будет статистически происходить чаще, чем в столь же малой далёкой области. Из одного измерения нельзя восстановить гладкое облако: получится отдельный результат. Облако возникает как описание распределения результатов в серии одинаково подготовленных систем. Такой пример не утверждает, что электрон размазан как краска; он объясняет, какую статистическую работу выполняет |ψ|².

Комплексный характер ψ тоже нужен не для того, чтобы формула выглядела солиднее. Фаза амплитуды позволяет решениям усиливать или ослаблять друг друга при сложении. В интерференционной задаче две амплитуды складываются до возведения модуля в квадрат; поэтому результат не равен простому сложению двух готовых вероятностей. Эта черта лежит в основе наблюдаемых квантовых интерференционных эффектов. Вероятностная плотность оказывается вещественной и неотрицательной, а амплитуда хранит больше информации, чем одна плотность.

Где проходят границы уравнения

Источник, описывающий общую роль формулы, относит её к эволюции замкнутых квантовых физических систем. Это существенная оговорка. В реальной лаборатории система соприкасается с прибором, средой, тепловым окружением и другими степенями свободы. Иногда такое окружение можно пренебрежимо отделить, иногда нет. Тогда простая картина одной изолированной ψ для интересующего объекта становится недостаточной, и приходится описывать более широкую систему либо использовать специальные приближения для открытых систем.

Уравнение также не выбирает единственную интерпретацию волновой функции. Его решения можно успешно применять, не договорившись окончательно, является ли ψ физическим полем, средством предсказания результатов или элементом иной концептуальной схемы. Шрёдингер возражал против распространённого статистического истолкования как против окончательного ответа. Само это несогласие не делает уравнение сомнительным: одинаковая математическая эволюция может стоять в центре разных попыток объяснить, что именно следует считать реальным.

Наконец, формула не является универсальным пропуском во все режимы природы. В приведённом виде она относится к нерелятивистской квантовой механике; для скоростей, близких к скорости света, и для процессов рождения частиц требуется более общая теория. Ещё один предел более бытовой: гамильтониан нельзя брать с потолка. Если неверно записаны силы или взаимодействия, безупречное решение уравнения лишь аккуратно развивает неверную модель. Формула задаёт порядок движения состояния, а не избавляет физика от выбора адекватной задачи.